Question

求解下列問題
（1）求函數y=

sinx- 1 2

+lg(cosx+

1

2

)的定義域；
（2）求f（x）=sin（

π

3

-2x）的單調增區(qū)間；
（3）函數f（x）=

k-2x

1+k•2x

為奇函數，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由偶次根式內部的代數式大于等于0，對數式的真數大于0，聯(lián)立后求解三角不等式即可得到函數的定義域；
（2）給出的函數是正弦型的復合函數，且內層函數為減函數，只要讓

π

3

-2x在正弦函數的減區(qū)間內求解x的取值范圍即可，最后用區(qū)間表示；
（3）根據函數是奇函數的定義，由f（-x）+f（x）=0恒成立，列式后得（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立，也就是k²-1=0恒成立，則k的值可求．

解答：解：（1）要使原函數有意義，
則

sinx- 1 2 ≥0① cosx+ 1 2 ＞0②

，
解①得：

π

6

+2kπ≤x≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
解②得：-

2π

3

+2kπ＜x＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）．
所以，

π

6

+2kπ≤x＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）．
所以，原函數的定義域為[

π

6

+2kπ，

2π

3

+2kπ)（k∈Z）．
（2）令

π

3

-2x=t，
則內層函數t=-2x+

π

3

為減函數，
由

π

2

+2kπ≤t≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，
即

π

2

+2kπ≤-2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，
解得：-

7π

12

-kπ≤x≤-

π

12

-kπ(k∈Z)．
即

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z）．
所以，函數f（x）=sin（

π

3

-2x）的單調增區(qū)間為：
[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）．
（3）由函數f（x）=

k-2x

1+k•2x

為奇函數，
則f（-x）+f（x）=0恒成立，
即

k-2-x

1+k•2-x

+

k-2x

1+k•2x

=0恒成立，
整理得：

k2•22x-1+k2-22x

(k+2x)(1+k•2x)

=0，
所以，（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立．
即k²-1=0恒成立．
所以，k=1 或k=-1．
所以，使函數f（x）=

k-2x

1+k•2x

為奇函數的k的值為1或-1．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了復合函數的單調性，考查了函數的奇偶性，復合函數的單調性滿足“同增異減”的原則，運用函數奇偶性求解參數時，注意等式恒成立的條件，此題是中檔題．