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14.若直線l與曲線M(x0,y0)滿足下列兩個條件:
(1)直線l在點M(x0,y0)處與曲線C相切;
(2)曲線C在點M附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點M處“內(nèi)切”曲線C.
下列命題正確的是①②(寫出所有正確命題的編號)
①直線l:y=0在點M(0,0)處“內(nèi)切”曲線C:y=x3
②直線l:y=x在點M(0,0)處“內(nèi)切”曲線C:y=sinx
③直線l:y=x-1在點M(1,0)處“內(nèi)切”曲線C:y=lnx.

分析 分別求出每一個命題中曲線C的導(dǎo)數(shù),得到曲線在點M處的導(dǎo)數(shù)值,求出曲線在點M處的切線方程,再由曲線在點M兩側(cè)的函數(shù)值與對應(yīng)直線上點的值的大小判斷是否滿足條件(2),則正確的選項可求.

解答 解:①,由y=x3,得y′=3x2,則y′|x=0=0,直線y=0是在點M(0,0)處的曲線C的切線,
又當x>0時y>0,當x<0時y<0,滿足曲線C在M(0,0)附近位于直線y=0兩側(cè),故命題①正確;
②,由y=sinx,得y′=cosx,則y′|x=0=1,直線y=x是在點M(0,0)處的曲線的切線,
滿足曲線C在M(0,0)附近位于直線y=x兩側(cè),故命題②正確;
③,由y=lnx,得y′=1x,則y′|x=1=1,曲線在M(1,0)處的切線為y=x-1,
由g(x)=x-1-lnx,得g′(x)=1-1x,當x∈(0,1)時,g′(x)<0,當x∈(1,+∞)時,
g′(x)>0.則g(x)在(0,+∞)上有極小值也是最小值,為g(1)=0.
即y=x-1恒在y=lnx的上方,不滿足曲線C在點M附近位于直線l的兩側(cè),故命題③錯誤.
故答案為:①②.

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

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4.(1+i)(2+i)=(  )
A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i

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