Question

4．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（-1）=2，對(duì)?x∈R，f'（x）＞2，則f（log₂x）＜2log₂x+4的解集為（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=f（x）-2x，由f′（x）＞2，得到g′（x）大于0，得到g（x）為增函數(shù)，將所求不等式變形后，利用g（x）為增函數(shù)求出x的范圍，即為所求不等式的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-2x，則g′（x）=f′（x）-2，
∵對(duì)?x∈R，f'（x）＞2，
∴g′（x）＞0．
∴g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f（log₂x）＜2log₂x+4?f（log₂x）-2log₂x＜4，
∵g（-1）=f（-1）-2×（-1）=4，
即g（log₂x）＜g（-1），
∴l(xiāng)og₂x＜-1，得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
則f（log₂x）＜2log₂x+4的解集為（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．