分析 (1)若k1+k2=0,線段AB和CD關(guān)于x軸對稱,利用→AP=2→PB,確定坐標(biāo)之間的關(guān)系,即可求線段MN的長;
(2)若k1•k2=-1,兩直線互相垂直,求出M,N的坐標(biāo),可得|PM|,|PN|,即可求△PMN面積的最小值.
解答 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設(shè)y1>0,則
設(shè)直線AB的方程為y=k1(x-2),代入y2=4x,可得y2-4k1y-8=0
∴y1+y2=4k1,y1y2=-8,
∵→AP=2→PB,∴y1=-2y2,∴y1=4,y2=-2,
∴yM=1,
∵k1+k2=0,
∴線段AB和CD關(guān)于x軸對稱,
∴線段MN的長為2;
(2)∵k1•k2=-1,∴兩直線互相垂直,
設(shè)AB:x=my+2,則CD:x=-1my+2,
x=my+2代入y2=4x,得y2-4my-8=0,
則y1+y2=4m,y1y2=-8,
∴M(2m2+2,2m).
同理N(2m2+2,-2m),
∴|PM|=2|m|•√m2+1,|PN|=2m2•√m2+1,|
∴S△PMN=12|PM||PN|=1|m|(m2+1)=2(|m|+1|m|)≥4,
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時取等號,
∴△PMN面積的最小值為4.
點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,考查基本不等式的運用,屬于中檔題.
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A. | [0,+∞) | B. | [√22,+∞) | C. | [√24,+∞) | D. | [√2,+∞) |
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A. | 四個內(nèi)角都大于90° | B. | 四個內(nèi)角中有一個大于90° | ||
C. | 四個內(nèi)角都小于90° | D. | 四個內(nèi)角中有一個小于90° |
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A. | 102 | B. | 8658 | C. | 8178 | D. | 108 |
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A. | -2015 | B. | -2016 | C. | 2015 | D. | 2016 |
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