Question

14．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中點．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求直線BE與PA所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出△PBC，△PDC都是等邊三角形，從而BE⊥PC，DE⊥PC，由此能證明PC⊥BD．
（2）連接AC，交BD于點O，連OE，則AP∥OE，∠BOE即為BE與PA所成的角，由此能求出直線BE與PA所成角的余弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，且PA=AB=a，
∴△PBC，△PDC都是等邊三角形，…（2分）
∵E是棱PC的中點，
∴BE⊥PC，DE⊥PC，又 BE∩DE=E，
∴PC⊥平面BDE…（5分）
又BD?平面BDE，
∴PC⊥BD…（6分）
解：（2）連接AC，交BD于點O，連OE．   
四邊形ABCD為正方形，∴O是AC的中點…（8分）
又E是PC的中點
∴OE為△ACP的中位線，∴AP∥OE
∴∠BEO即為BE與PA所成的角   …（10分）
在Rt△BOE中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，EO=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}a$，…（12分）
∴cos∠BEO=$\frac{OE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線BE與PA所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（14分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線線角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．