Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x．
（1）討論函數(shù)g（x）=f（ax）-x-a的單調(diào)性；
（2）證明：f（x）+lnx+$\frac{3}{x}＞\frac{4}{{\sqrt{x}}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明$x（{lnx+{e^x}}）-4\sqrt{x}+3＞0$，令a=1，得到e^x≥x+1，當(dāng)x+1＞0時(shí)，得ln（x+1）≤x（x＞-1），用x-1代替x可得lnx≤x-1（x＞0），根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 （1）解：g（x）=f（ax）-x-a=e^ax-x-a，g'（x）=ae^ax-1，
①若a≤0時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在R上單調(diào)遞減；
②若a＞0時(shí)，當(dāng)$x＜-\frac{1}{a}lna$時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$x＞-\frac{1}{a}lna$時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
綜上，若a≤0時(shí)，g（x）在R上單調(diào)遞減；
若a＞0時(shí)，g（x）在$（{-∞，-\frac{1}{a}lna}）$上單調(diào)遞減；
在$（{-\frac{1}{a}lna，+∞}）$上單調(diào)遞增；
（2）證明：要證$f（x）+lnx+\frac{3}{x}＞\frac{4}{{\sqrt{x}}}$，只需證$x（{lnx+{e^x}}）-4\sqrt{x}+3＞0$，
由（1）可知當(dāng)a=1時(shí)，e^x-x-1≥0，即e^x≥x+1，
當(dāng)x+1＞0時(shí)，上式兩邊取以e為底的對數(shù)，可得ln（x+1）≤x（x＞-1），
用x-1代替x可得lnx≤x-1（x＞0），又可得$ln\frac{1}{x}≤\frac{1}{x}-1（{x＞0}）$，
所以$lnx≥1-\frac{1}{x}（{x＞0}）$，$x（{lnx+{e^x}}）-4\sqrt{x}+3＞x（{1-\frac{1}{x}+x+1}）+3-4\sqrt{x}$
=${x^2}+2x+2-4\sqrt{x}={（{x+1}）^2}-4\sqrt{x}+1$$≥{（{2\sqrt{x}}）^2}-4\sqrt{x}+1={（{2\sqrt{x}-1}）^2}≥0$，
即原不等式成立．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．