Question

已知函數(shù)f（x）=x2﹣alnx，a∈R．

（Ⅰ）當a=4時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x的值；

（Ⅱ）若存在x∈[2，e]，使得f（x）≥（a﹣2）x成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為﹣3，相應的x的值為e ； (2) [，+∞）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）a=4時，f（x）=x2﹣4lnx，由=0，得x=，或x=﹣（舍），

∵f（1）=1﹣4ln1=1，f（）=1﹣4ln=1﹣2ln2，f（e）=1﹣4lne=﹣3，

∴函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為﹣3，相應的x的值為e．

（Ⅱ）f（x）≥（a﹣2）x等價于a（x+lnx）≤x2+2x，轉(zhuǎn)化為a≤，x∈[2，e]恒成立問題，

令g（x）=，x∈[2，e]，求出該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最小值，即可得出結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）a=4時，f（x）=x2﹣4lnx，

∴f（x）的定義域為x＞0，

，

由=0，得x=，或x=﹣（舍），

∵f（1）=1﹣4ln1=1，

f（）=1﹣4ln=1﹣2ln2，

f（e）=1﹣4lne=﹣3，

∴函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為﹣3，相應的x的值為e．

（Ⅱ）f（x）≥（a﹣2）x等價于a（x+lnx）≤x2+2x，

∵x∈[2，e]，∴x+lnx＞0，

∴a≤，x∈[2，e]，

令g（x）=，x∈[2，e]，

=，

當x∈[2，e]時，x+1＞0，lnx≤1，x﹣2+2lnx＞0，

從而g′（x）≥0（僅當x=1時取等號），所g（x）在[2，e]上為增函數(shù)，

故g（x）的最小值為g（2）=，所以a的取值范圍是[，+∞）．

考點：導數(shù)的綜合題.