Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）面積的最大值為，

【解析】

試題（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；（2）分別設(shè)點(diǎn)P，線段PA的中點(diǎn)M（x，y）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及“代點(diǎn)法”即可得出；（3）對(duì)直線BC的斜率分存在于不存在兩種情況討論，當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，把直線BC的方程與橢圓的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出|BC|，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出點(diǎn)A到直線BC的距離，利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出，再利用導(dǎo)數(shù)得出其最值

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為

由題意可知：，

故

所以橢圓的方程為：

（2）設(shè)，則有：

①

又因?yàn)椋?/span>②

將②代入①得到點(diǎn)的軌跡方程：

（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：設(shè)

由

不妨設(shè)，則

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則：

=

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

上式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

綜上可知，面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為：