Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x+1|，g（x）=-x．
（1）解不等式f（x）＞g（x）；
（2）對任意的實數(shù)x，不等式f（x）-2x≤2g（x）+m（m∈R）恒成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意不等式f（x）＞g（x）可化為|x-2|+x＞|x+1|，分類討論，即可解不等式f（x）＞g（x）；
（2）由不等式f（x）-2x≤2g（x）+m，可得|x-2|≤|x+1|+m，分離參數(shù)m，得m≥|x-2|-|x+1|，所以m≥（|x-2|-|x+1|）_max，即可求出實數(shù)m的最小值．

解答 解：（1）由題意不等式f（x）＞g（x）可化為|x-2|+x＞|x+1|，
當(dāng)x＜-1時，-（x-2）+x＞-（x+1），解得x＞-3，即-3＜x＜-1；
當(dāng)-1≤x≤2時，-（x-2）+x＞x+1，解得x＜1，即-1≤x＜1；
當(dāng)x＞2時，x-2+x＞x+1，解得x＞3，即x＞3．
綜上所述，不等式f（x）＞g（x）的解集為{x|-3＜x＜1或x＞3}．
（2）由不等式f（x）-2x≤2g（x）+m，可得|x-2|≤|x+1|+m，
分離參數(shù)m，得m≥|x-2|-|x+1|，所以m≥（|x-2|-|x+1|）_max，
因為|x-2|-|x+1|≤|x-2-（x+1）|=3，所以m≥3，
故實數(shù)m的最小值是3．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查恒成立問題，正確分類討論是關(guān)鍵．