Question

14．若存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n）使得函數(shù)y=a^x（a＞1）的定義域與值域均為[m，n]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$．

Answer 1

分析 由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得方程a^x=x有兩個(gè)不同實(shí)根m，n，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$與y=lna有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得y=$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)性及其最值，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：∵函數(shù)y=a^x（a＞1）為增函數(shù)，且其定義域與值域均為[m，n]，
則a^m=m，aⁿ=n，即方程a^x=x有兩個(gè)不同實(shí)根m，n，
由a^x=x，可知lnx=xlna，即$\frac{lnx}{x}=lna$，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$與y=lna有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
令y=$\frac{lnx}{x}$，則y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由y′=0，可得x=$\frac{1}{e}$，可知當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，y′＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＜0．
∴y=$\frac{lnx}{x}$在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
結(jié)合圖象可得0＜lna＜$\frac{1}{e}$，故1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$．
故答案為：1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域及其值域，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．