Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+a（a∈R）$為奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）當(dāng)0≤x≤1時，關(guān)于x的方程f（x）+1=t有解，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x²-mx）≥f（2x-2m）．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，即可求a的值；
（2）當(dāng)0≤x≤1時，關(guān)于x的方程f（x）+1=t有解，求出函數(shù)的值域，即可求實數(shù)t的取值范圍；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，化不等式為具體不等式，分類討論，即可解關(guān)于x的不等式f（x²-mx）≥f（2x-2m）．

解答 解：（1）∵x∈R，∴f（0）=0，∴a=-1…．（3分）
（2）∵$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1∴f（x）+1=\frac{2}{{{3^x}+1}}$，∵0≤x≤1，∴2≤3^x+1≤4…．（5分）
∴$\frac{1}{2}≤f（x）+1≤1$…．（7分）∴$\frac{1}{2}≤t≤1$…．（8分）
（3）$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$在R上單調(diào)遞減，…．（9分）
f（x²-mx）≥f（2x-2m）x²-mx≤2x-2m…．（10分）
x²-（m+2）x+2m≤0（x-2）（x-m）≤0…．（11分）
①當(dāng)m＞2時，不等式的解集是{x|2≤x≤m}
②當(dāng)m=2時，不等式的解集是{x|x=2}
③當(dāng)m＜2時，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．（14分）

點評 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生解不等式的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．