Question

6．正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，向量$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BD}$的夾角為θ，則cosθ=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，可分別以DC，DA所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，從而可求出點(diǎn)A，E，B，D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，從而便可求出cosθ的值．

解答 解：如圖，

分別以DC，DA所在直線為x，y軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則：
A（0，2），E（2，1），B（2，2），D（0，0）；
∴$\overrightarrow{AE}=（2，-1），\overrightarrow{BD}=（-2，-2）$；
∴$|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{5}，|\overrightarrow{BD}|=2\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=-2$．
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{-2}{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案為：$-\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 考查建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，在坐標(biāo)系中能確定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．