Question

10．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若S_△ABC=2$\sqrt{3}$，a+b=6，且$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC，則c=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC，由C的范圍特殊角的三角函數(shù)值求出C，代入三角形的面積公式列出方程，利用余弦定理列出方程，變形后整體代入求出c的值．

解答 解：由$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC得，acosB+bcosA=2ccosC，
在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$，
由S_△ABC=2$\sqrt{3}$得，$\frac{1}{2}absinC=2\sqrt{3}$，得ab=8，
∵a+b=6，∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC
=（a+b）²-2ab-2abcosC=36-16-8=12，
解得c=$2\sqrt{3}$，
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，熟練掌握定理和公式是解題的關(guān)鍵．