Question

1．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{x^2}{a}$+alnx．
（1）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的增減性；
（2）若f'（x）-$\frac{1}{a}$+2x≥-$\frac{2x}{a}$+$\frac{a-2}{x}$在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=（${\frac{1}{a}$+b）x²+cx（其中a，b，c為實(shí)常數(shù)），已知曲線h（x）=f（x）+g（x）在x=1處的切線與曲線m（x）=2x²+x-1在x=2處切線是同一條直線，且函數(shù)h（x）無極值點(diǎn)且h′（x）存在零點(diǎn)，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于零和小于零，通過對(duì)參數(shù)a分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）不等式可整理為$\frac{1}{a}≤\frac{2}{x}+2x$恒成立，只需求出右式的最小值即可．
（3）通過m'（x）=4x+1，求出切線方程y=9x-9；根據(jù)題意，得出$\left\{\begin{array}{l}h'（1）=2b+c+a=9\\ h（1）=b+c=0\end{array}\right.$，得出a，b，c的關(guān)系：$\left\{\begin{array}{l}a=9+c\\ b=-c\end{array}\right.$，得出導(dǎo)函數(shù)$h'（x）=-2cx+c+\frac{9+c}{x}=\frac{{-2c{x^2}+cx+9+c}}{x}=0$，要使?jié)M足題意，則二次函數(shù)有等跟時(shí)成立，最后求出參數(shù)值．

解答 解：（1）由已知可得，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
所以$f'（x）=-\frac{2x}{a}+\frac{a}{x}$，令f'（x）＞0，
解得$\frac{{2{x^2}}}{a}＜a$，
當(dāng)a＞0時(shí)，$-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}＜x＜\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，即$0＜x＜\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，
所以函數(shù)f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$）內(nèi)為增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，$x＜\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$或$x＞-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，即$x＞-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，所以函數(shù)f（x）在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
令f'（x）≤0，解得$\frac{{2{x^2}}}{a}≥a$，當(dāng)a＞0時(shí)，$x≤-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$或$x≥\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，即$x≥\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，所以函數(shù)f（x）在$[{\frac{{\sqrt{2}a}}{2}，+∞}）$內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{{\sqrt{2}a}}{2}≤x≤-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，即$0＜x≤-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，所以函數(shù)f（x）在$（{0，-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}]$內(nèi)為減函數(shù)；
綜上：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$）內(nèi)為增函數(shù)；在$[{\frac{{\sqrt{2}a}}{2}，+∞}）$內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在$（{0，-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}]$內(nèi)為減函數(shù)；在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；（4分）
（2）根據(jù)題意可得$f'（x）-\frac{1}{a}+2x≥-\frac{2x}{a}+\frac{a-2}{x}$，即$\frac{1}{a}≤\frac{2}{x}+2x$，而$\frac{2}{x}+2x≥2\sqrt{\frac{2}{x}•2x}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{x}=2x$即x=1時(shí)取得．
根據(jù)題意，若f'（x）$-\frac{1}{a}$+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，即是$\frac{1}{a}≤\frac{2}{x}+2x$恒成立，所以$\frac{1}{a}≤4$，
所以等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}a（{1-4a}）≤0\\ a≠0\end{array}\right.$，所以a＜0或$a≥\frac{1}{4}$，所以a的取值范圍為a＜0或$a≥\frac{1}{4}$，．
（3）由題意可得，m'（x）=4x+1，所以m'（2）=9，所以曲線m（x）=2x²+x-1在x=2處切線斜率是k=9，所以切線方程為y=9x-9；
因?yàn)?h（x）=f（x）+g（x）=-\frac{x^2}{a}+alnx+（{\frac{1}{a}+b}）{x^2}+cx=b{x^2}+cx+alnx$，
所以$h'（x）=2bx+c+\frac{a}{x}$，所以$\left\{\begin{array}{l}h'（1）=2b+c+a=9\\ h（1）=b+c=0\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)$\left\{\begin{array}{l}a=9+c\\ b=-c\end{array}\right.$，此時(shí)h（x）=-cx²+cx+（9+c）lnx，$h'（x）=-2cx+c+\frac{9+c}{x}$，
因?yàn)楹瘮?shù)h（x）無極值點(diǎn)且h'（x）存在零點(diǎn)，所以$h'（x）=-2cx+c+\frac{9+c}{x}=\frac{{-2c{x^2}+cx+9+c}}{x}=0$
所以-2cx²+cx+9+c=0，所以△=c²+8c（9+c）=0，解得c=-8，所以b=8，a=1，
故a=1，b=8，c=-8．

點(diǎn)評(píng) 考查了通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)的意義，函數(shù)極值點(diǎn)和零點(diǎn)的概念理解．難點(diǎn)是對(duì)參數(shù)的分類討論，恒成立問題的轉(zhuǎn)化．