Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足$\frac{sinA-sinC}{sinA+sinB}$=$\frac{a-b}{c}$，b=$\sqrt{7}$，cos²C=$\frac{1}{28}$．
（Ⅰ）求B，a的值；
（Ⅱ）若A＞$\frac{π}{6}$，如圖，D為邊BC中點(diǎn)，P是邊AB上動(dòng)點(diǎn)，求|CP|+|PD|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理得到關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出關(guān)系式代入求出cosB的值，確定出B的度數(shù)，由題意確定出sinC的值，再由b與sinB的值，利用正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出a的值即可；
（Ⅱ）由A＞$\frac{π}{6}$，知a=2，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連C′D，C′P，C′B，如圖所示，由余弦定理求出C′D的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可確定出|CP|+|PD|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：$\frac{sinA-sinC}{sinA+sinB}$=$\frac{a-c}{a+b}$=$\frac{a-b}{c}$，
整理得：a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B為△ABC的內(nèi)角，
∴B=$\frac{π}{3}$；
由cos²C=$\frac{1}{28}$，得到sinC=$\sqrt{\frac{27}{28}}$，
∵b=$\sqrt{7}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由正弦定理得：$\frac{c}{sinC}$=$\frac{sinB}$，即$\frac{c}{\sqrt{\frac{27}{28}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得：c=3，
由b²=a²+c²-ac，得7=a²+9-3a，即a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2；
（Ⅱ）由A＞$\frac{π}{6}$，知a=2，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連C′D，C′P，C′B，
由余弦定理得：|C′D|²=|BD|²+|BC′|²+|BD|•|BC′|=1²+2²+2=7，
|CP|+|PD|=|C′P|+|PD|≥|C′D|=$\sqrt{7}$，
當(dāng)C′，P，D共線時(shí)取等號(hào)，
則CP+PD的最小值為$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，對(duì)稱的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．