Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2m•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值為-2，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （I）計算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²，得到（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)x的范圍和余弦函數(shù)的性質(zhì)得出（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²的范圍；
（II）整理得出f（x）的解析式，討論m的范圍根據(jù)f（x）的最小值列出方程解出m．

解答 解：（I）（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2+2（cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$）=2+2cos2x．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[-π，π]．
∴0≤2+2cos2x≤4．
∴0≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|≤2．
（II）f（x）=cos2x-2m$\sqrt{2+2cos2x}$=cos2x-4m|cosx|=2cos²x-4mcosx-1=2（cosx-m）²-2m²-1．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴0≤cosx≤1．
（1）若0≤m≤1，則當cosx=m時，f（x）取得最小值-2m²-1=-2，解得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍）．
（2）若m＞1，則當cosx=1時，f（x）取得最小值2（1-m）²-2m²-1=-2，解得m=$\frac{3}{4}$（舍）．
（3）若m＜0，則當cosx=0時，f（x）取得最小值-1，不符合題意．
綜上，m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．