Question

已知函數(shù)f（x+1）=

2x+1

x+2

．
（Ⅰ）求f（2），f（x）；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在[1，17]上為增函數(shù)；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在[1，17]最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）令x=1，即可得到f（2），運用換元法，令t=x+1，則x=t-1，代入即可得到函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）運用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可得證，注意作差、變形、定符號等步驟；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，f（x）在[1，17]上為增函數(shù)，即可得到最值．

解答： 解：（I）由于函數(shù)f（x+1）=

2x+1

x+2

，
則f（2）=f（1+1）=1，
令t=x+1，則x=t-1，
則f（t）=

2t-1

t+1

即f（x）=

2x-1

x+1

；
（Ⅱ）證明：任取1≤m＜n≤17，
f（m）-f（n）=

2m-1

m+1

-

2n-1

n+1

=

3(m-n)

(m+1)(n+1)

，
又1≤m＜n，則m-n＜0，（m+1）（n+1）＞0，
則

3(m-n)

(m+1)(n+1)

＜0，即f（m）＜f（n），
故f（x）在[1，17]上為增函數(shù)；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，f（x）在[1，17]上為增函數(shù)，
則當x=1時，f（x）有最小值為

1

2

，
當x=17時，f（x）有最大值

11

6

．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)的性質(zhì)及運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．