Question

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosA+a=2b．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡2ccosA+a=2b．可得2sinCcosA+sinA=2sinB，三角形內(nèi)角和定理消去B，可得角C的值；
（2）根據(jù)c=2和角C的值，利用余弦定理建立關系，結合基本不等式的性質即可求解△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）已知2ccosA+a=2b．
正弦定理：可得2sinCcosA+sinA=2sinB，
即2sinCcosA+sinA=2sin（A+C）=2sinAcosC+2sinCcosA．
∴sinA=2sinAcosC，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=2，cosC=$\frac{1}{2}$，
余弦定理，可得cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．
即a²+b²=ab+4．
∴ab+4≥2ab，當且僅當a=b時取等
∴ab≤4．
那么△ABC面積S=$\frac{1}{2}$absinC$≤2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故得△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正余弦定理的運用和基本不等式的性質的運用和計算能力．屬于基礎題．