Question

19．已知二項式${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中第四項為常數項．
（1）求n的值；
（2）求展開式的各項系數絕對值之和；
（3）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析 （1）根據二項展開式的通項公式，結合第四項的未知數的冪指數等于零，求得n的值．
（2）本題即求${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各項系數和，令x=1，可得它的結果．
（3）設${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展開式的第r+1項系數絕對值為A_r+1，且A_r+1為最大值，求得r的值，檢驗即可．

解答 解：（1）∵${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中第四項為常數項，∴${T_4}=C_n^3{（\sqrt{x}）^{n-3}}•{（-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^3}=C_n^3{（-2）^3}{x^{\frac{n-5}{2}}}$，∴$\frac{n-5}{2}$=0，∴n=5．
（2）由（1）知n=5，∴${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展開式的各項系數絕對值之和即${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各項系數和，
令x=1，可得${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各項系數和為3⁵．
（3）設${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展開式的第r+1項系數絕對值為A_r+1，且A_r+1為最大值，
則$\left\{\begin{array}{l}{A_{r+1}}≥{A_r}\\{A_{r+1}}≥{A_{r+2}}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}12-2r≥r\\ r+1≥10-2r\end{array}\right.⇒3≤r≤4$，∵r∈N^*，∴r=3或4，
又∵r=3時，${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$是展開式中第四項，其系數是負值，∴r=4，
故${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中系數最大的項為：${T_5}=C_5^4{（\sqrt{x}）^1}•{（-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^4}=C_5^4{（-2）^4}{x^{-\frac{5}{6}}}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于中檔題．