Question

9．設(shè)$m=\int_{-1}^{1}{（3{x^2}}+sinx）dx$，則（x-$\frac{m}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項為-160．

Answer 1

分析 利用定積分求出m=2，從而${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{2}{x}）^{r}$=（-2）^r${C}_{6}^{r}$x^6-2r，令6-2r=0，得r=3，由此能求出（x-$\frac{m}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項．

解答 解：∵$m=\int_{-1}^{1}{（3{x^2}}+sinx）dx$
=（x³-cosx）${|}_{-1}^{1}$=（1-cos1）-（-1-cos（-1））=2，
∴（x-$\frac{m}{x}$）⁶即$（x-\frac{2}{x}）^{6}$，
∴${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{2}{x}）^{r}$
=（-2）^r${C}_{6}^{r}$x^6-2r，
令6-2r=0，得r=3，
∴（x-$\frac{m}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項為：$（-2）^{3}{C}_{6}^{3}$=-160．
故答案為：-160．

點評 本題考查定積分的求法，考查二項展開式中常數(shù)項的求法，考查二項式定理、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．