Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M在橢圓上，如果$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0，那么點(diǎn)M到x軸的距離是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程便可求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，即得到F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），并設(shè)M（x，y），從而根據(jù)$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{2}M}=0$便可得出一個(gè)關(guān)于x，y的方程，而點(diǎn)M的坐標(biāo)又滿(mǎn)足橢圓的方程，這樣聯(lián)立橢圓方程即可解出|y|的值，從而得出點(diǎn)M到x軸的距離．

解答 解：由橢圓方程得，F(xiàn)₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），設(shè)M（x，y），則：
$\overrightarrow{{F}_{1}M}=（x，y+2），\overrightarrow{{F}_{2}M}=（x，y-2）$；
∴由$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{2}M}=0$得：x²+y²-4=0  （1）；
又點(diǎn)M在橢圓上，∴$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{6}=1（2）$；
∴（1）（2）聯(lián)立消去x²得，y²=3；
∴$|y|=\sqrt{3}$；
∴點(diǎn)M到x軸的距離是$\sqrt{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)概念及焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)和橢圓方程的關(guān)系，清楚平面上點(diǎn)M（x，y）到x軸距離為|y|．