Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（-2sin（π-x），cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，2sin（$\frac{π}{2}$-x）），函數(shù)f（x）=1-$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用向量的乘積運(yùn)算求出f（x）的解析式，將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，在求解x∈[0，$\frac{π}{2}$]，函數(shù)f（x）的最值，即可得值域．
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意：$\overrightarrow{m}$=（-2sin（π-x），cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，2sin（$\frac{π}{2}$-x）），
函數(shù)f（x）=1-$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
=1+$2\sqrt{3}$cosxsin（π-x）-2cosxsin（$\frac{π}{2}$-x）
=1+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x
=1+$\sqrt{3}$sin2x-1-cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
當(dāng)x=$-\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取值最小值為-1，
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為2，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，2]．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可知：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]（k∈Z）．
即$2kπ-\frac{π}{2}≤$$2x-\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）．
解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$（k∈Z）．
又∵x∈[0，π]
當(dāng)k=0時(shí)，可得：$0≤x≤\frac{π}{3}$．
當(dāng)k=1時(shí)，可得：$\frac{5π}{6}≤x≤π$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力，對(duì)三角函數(shù)的理解！屬于中檔題．