已知函數(shù)y=ax2+2x+3
（1）求在區(qū)間[0，2]上的最大值g（a）
（2）求g（a）的值域．
考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
專題：計算題,函數(shù)的性質及應用
分析：（1）討論a=0，a＞0，a＜0再分①當0＜-
1
a
＜2即-
1
2
＜a＜0時，②當-
1
a
≥2即a≤-
1
2
時，判斷單調區(qū)間，求出最大值；
（2）分別求出a≥0時，-
1
2
＜a＜0時，a≤-
1
2
，函數(shù)的值域，再求并集即可．
解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=2x+3，區(qū)間[0，2]是增區(qū)間，則最大值g（a）=f（2）=7；
當a＞0，對稱軸x=-
1
a
＜0，[0，2]為增區(qū)間，則最大值為g（a）=f（2）=4a+7，
當a＜0時，對稱軸x=-
1
a
＞0，
①當0＜-
1
a
＜2即-
1
2
＜a＜0時，則g（a）=f（-
1
a
）=3-
1
a
，
②當-
1
a
≥2即a≤-
1
2
時，[0，2]為增區(qū)間，則g（a）=f（2）=4a+7．
∴g（a）=
4a+7，a≥0或-
1
2
＜a＜0
3-
1
a
，a≤-
1
2
；
（2）當a≥0時，g（a）≥7；
當-
1
2
＜a＜0時，5＜g（a）＜7；
當a≤-
1
2
，3＜g（a）≤5．
故函數(shù)g（a）的值域為（3，+∞）．
點評：本題考查二次函數(shù)的值域和最值問題，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，P為橢圓的上頂點，且△PF1F2的面積為
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為
3
2
，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-bx2
（I）當b=3時，函數(shù)在（t，t+3）上既存在極大值，又有在極小值，求t的取值范圍．
（II）若g(x)=
f(x)
x
+1對于任意的x∈[2，+∞）恒有g（x）≥0成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ax3+bx2+cx的導函數(shù)y=f′（x）的簡圖，它與x軸的交點是（0，0）和（1，0），又f′（
1
2
）=
3
2
．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的極大值．
（2）若在區(qū)間[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圖1是一個正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對角線，請在圖2的正方體中將MN和PB畫出來，并就這個正方體解決下列問題
（1）求證：MN∥平面PBD； 
（2）求證：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x（x-c）2（x∈R，c是實常數(shù)）在x=2處取極大值．
（1）求c的值；
（2）在曲線y=f（x）上是否存在點M，使經過點M的切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點？若存在，求點M的坐標；若不存在，簡要說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù) f（x）=ex+ax2+bx．
（1）若a=0且f（x）在x=-1處取得極值，求實數(shù)b的值；
（2）設曲線y=f（x）在點P（m，f（m））（0＜m＜1）處的切線為l，直線l與y軸相交于點Q．若點Q的縱坐標恒小于l，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
lnx
x
．
（Ⅰ）若F（x）=
a
x
-f（x）（a∈R），求F（x）的極小值；
（Ⅱ）若G（x）=f（x）+mx在定義域內單調遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2+1，x≤1
2x+ax，x＞1
，若f（f（1））=4a，則實數(shù)a=
 
．

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