設函數(shù)f（x）=
lnx
x
．
（Ⅰ）若F（x）=
a
x
-f（x）（a∈R），求F（x）的極小值；
（Ⅱ）若G（x）=f（x）+mx在定義域內單調遞增，求實數(shù)m的取值范圍．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用
分析：（Ⅰ）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求F（x）的極小值；
（Ⅱ）G（x）=f（x）+mx在定義域內單調遞增，
1-lnx
x2
+m≥0在（0，+∞）上單調遞增，即可求實數(shù)m的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）∵F（x）=
a
x
-f（x）=
a
x
-
lnx
x
，
∴F′（x）=
lnx-1-a
x2
=0，
∴x=e1+a，
∴0＜x＜e1+a時，F(xiàn)′（x）＜0；x＞e1+a時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴x=e1+a時，F(xiàn)（x）的極小值為
1+a
e1+a
；
（Ⅱ）G（x）=
lnx
x
+mx，則G′（x）=
1-lnx
x2
+m，
∵G（x）=f（x）+mx在定義域內單調遞增，
∴
1-lnx
x2
+m≥0在（0，+∞）上單調遞增，
令y=
1-lnx
x2
，則y′=
-3+2lnx
x2
，
∴0＜x＜e
3
2
時，y′＜0；x＞e
3
2
時，y′＞0，
∴x=e
3
2
時，ymin=-
1
2e3
，
∴m≥
1
2e3
．
點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構成一個等比數(shù)列且它們有一個公共的焦點（4，0），其中雙曲線的一條漸近線方程為y=
3
x，求三條曲線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=ax2+2x+3
（1）求在區(qū)間[0，2]上的最大值g（a）
（2）求g（a）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（
π
2
，
3π
2
）
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+sin2α
1-tanα
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2．
（Ⅰ）若f（x）在x=-1時有極值，求a的值及函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（0，﹢∞）上的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（
1
2
）=-1．
（1）求證：f（2）=1；
（2）求不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin2x+sin2x
（1）若x∈[0，
π
2
]，求使f（x）為正值的x的集合；
（2）若關于x的方程[f（x）]2+f（x）+a=0在[0，
π
4
]內有實根，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2x3-7x2-12x+1在區(qū)間[-5，1]上最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①若tanα=-
1
2
，α∈（0，π），則α=arctan（-
1
2
）
②若α，β是銳角△ABC的內角，則sinα＞cosβ；
③函數(shù)y=sin（
2
3
x-
7
2
π）是偶函數(shù)；
④函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移
π
4
個單位，得到y(tǒng)=sin（2x+
π
4
）的圖象．
其中正確的命題的序號是
 
．

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