Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

lnx

x

．
（Ⅰ）若F（x）=

a

x

-f（x）（a∈R），求F（x）的極小值；
（Ⅱ）若G（x）=f（x）+mx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求F（x）的極小值；
（Ⅱ）G（x）=f（x）+mx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

1-lnx

x2

+m≥0在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵F（x）=

a

x

-f（x）=

a

x

-

lnx

x

，
∴F′（x）=

lnx-1-a

x2

=0，
∴x=e^1+a，
∴0＜x＜e^1+a時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；x＞e^1+a時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
∴x=e^1+a時(shí)，F(xiàn)（x）的極小值為

1+a

e1+a

；
（Ⅱ）G（x）=

lnx

x

+mx，則G′（x）=

1-lnx

x2

+m，
∵G（x）=f（x）+mx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
∴

1-lnx

x2

+m≥0在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
令y=

1-lnx

x2

，則y′=

-3+2lnx

x2

，
∴0＜x＜e

3

2

時(shí)，y′＜0；x＞e

3

2

時(shí)，y′＞0，
∴x=e

3

2

時(shí)，y_min=-

1

2e3

，
∴m≥

1

2e3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．