設(shè)函數(shù)f(x)=
lnx
x

(Ⅰ)若F(x)=
a
x
-f(x)(a∈R),求F(x)的極小值;
(Ⅱ)若G(x)=f(x)+mx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求F(x)的極小值;
(Ⅱ)G(x)=f(x)+mx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
1-lnx
x2
+m≥0在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即可求實數(shù)m的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)∵F(x)=
a
x
-f(x)=
a
x
-
lnx
x
,
∴F′(x)=
lnx-1-a
x2
=0,
∴x=e1+a,
∴0<x<e1+a時,F(xiàn)′(x)<0;x>e1+a時,F(xiàn)′(x)>0,
∴x=e1+a時,F(xiàn)(x)的極小值為
1+a
e1+a
;
(Ⅱ)G(x)=
lnx
x
+mx,則G′(x)=
1-lnx
x2
+m,
∵G(x)=f(x)+mx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
1-lnx
x2
+m≥0在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
令y=
1-lnx
x2
,則y′=
-3+2lnx
x2
,
∴0<x<e
3
2
時,y′<0;x>e
3
2
時,y′>0,
∴x=e
3
2
時,ymin=-
1
2e3
,
∴m≥
1
2e3
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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3
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