Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+ax+2lnx，g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+kx+（2-x）lnx-k，k∈Z．
（1）當a=-3時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=1時，若對任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）當a=-3時，求導數(shù)，分類討論，即可求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=1時，若對任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，$k＜\frac{xlnx+x}{x-1}$，求出右邊的最小值，即可求k的最大值．

解答 解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}．
當a=-3時，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3x+2lnx$，$f'（x）=x-3+\frac{2}{x}=\frac{{{x^2}-3x+2}}{x}=\frac{（x-1）（x-2）}{x}$．
①當x∈（0，1）或x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
②當x∈（1，2）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
綜上，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），（2，+∞），單調遞減區(qū)間為（1，2）．
（2）由g（x）＜f（x），得$\frac{1}{2}{x^2}+kx+（2-x）lnx-k＜\frac{1}{2}{x^2}+x+2lnx$，
整理得k（x-1）＜xlnx+x，
∵x＞1，∴$k＜\frac{xlnx+x}{x-1}$．
令$Q（x）=\frac{xlnx+x}{x-1}$，則$Q'（x）=\frac{x-lnx-2}{{{{（x-1）}^2}}}$．
令h（x）=x-lnx-2，∵x＞1，∴$h'（x）=1-\frac{1}{x}＞0$．
∴h（x）在（1，+∞）上遞增，h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴h（x）存在唯一的零點x₀∈（3，4）．
∴h（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，得lnx₀=x₀-2．
當x∈（1，x₀）時，h（x）＜h（x₀）=0，Q'（x）＜0，
∴Q（x）在（1，x₀）上遞減；
當x∈（x₀，+∞）時，Q'（x）＞0，
∴Q（x）在（x₀，+∞）上遞增．
∴${[Q（x）]_{min}}=Q（{x_0}）=\frac{{{x_0}ln{x_0}+{x_0}}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}（1+{x_0}-2）}}{{{x_0}-1}}={x_0}$，
要使$k＜\frac{xlnx+x}{x-1}$對任意x＞1恒成立，只需k＜[Q（x）]_min=x₀．
又3＜x₀＜4，且k∈Z，∴k的最大值為3．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．