Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=2n+2$（n∈N^*），且a₂=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}={log_{\sqrt{2}}}{a_n}$，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）${b_n}={log_{\sqrt{2}}}{a_n}=2{log_2}{2^n}=2n$，${a_n}{b_n}=n×{2^{n+1}}$，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=2n+2⇒{a_1}+\frac{a_2}{2}=4⇒{a_1}=2$；
∵${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=2n+2$，
∴${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=2n$（n≥2），
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=2⇒{a_{n+1}}={2^{n+1}}⇒{a_n}={2^n}（{n≥3}）$，經(jīng)檢驗a₁=2，a₂=4滿足上式，
∴${a_n}={2^n}$．
（2）${b_n}={log_{\sqrt{2}}}{a_n}=2{log_2}{2^n}=2n$，
∴${a_n}{b_n}=n×{2^{n+1}}$，
∴數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴2S_n=2×2²+2×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺²，
∴${S_n}=（{n-1}）•{2^{n+2}}+4$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．