Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，cos2C+2$\sqrt{2}$cosC+2=0．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinAsinB，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式，代入即可求得cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜C＜π，則C=$\frac{3π}{4}$；
（2）由三角形的面積公式，代入根據正弦定理即可求得R，由c=2Rsinc，即可求得c的值．

解答 解：（1）由cos2C=2cos²C-1，
則2cos²C-1+2$\sqrt{2}$cosC+2=0，整理得：2cos²C+2$\sqrt{2}$cosC+1=0，
∴（$\sqrt{2}$cosC+1）²=0，cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜C＜π，則C=$\frac{3π}{4}$，
∴角C為$\frac{3π}{4}$；
（2）由△ABC的面積S，S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinAsinB，則$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinAsinB，
整理得：$\frac{a}{sinA}$×$\frac{sinB}$=2
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，（R為外接圓半徑），
則4R²=2，解得：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
c=2Rsinc=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
∴c的值為1．

點評 本題考查二倍角公式，特殊角的三角形函數值，正弦定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．