Question

17．在極坐標系中，圓C的方程為ρ=4cosθ，以極點為坐標原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l經過點M（5，6），且斜率為$\frac{4}{3}$．
（1）求圓 C的平面直角坐標方程和直線l的參數方程；
（2）若直線l與圓C交于A，B兩點，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出圓C的平面直角坐標方程，由直線l經過點M（5，6），且斜率為$\frac{4}{3}$，能求出直線l的參數方程．
（2）把直線l的參數方程代入圓C：（x-2）²+y²=4，得5t²+66t+205=0，由此能求出|MA|+|MB|的值．

解答 解：（1）∵圓C的方程為ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，
∴圓C的平面直角坐標方程為：（x-2）²+y²=4，
∵直線l經過點M（5，6），且斜率為$\frac{4}{3}$，
∴tanθ=$\frac{4}{3}$，cos$θ=\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，
∴直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{3}{5}t\\ y=6+\frac{4}{5}t\end{array}\right.（t$為參數 ）．
（2）把直線l的參數方程代入圓C：（x-2）²+y²=4，
得：5t²+66t+205=0，
∴$|{MA}|+|{MB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}+{t_2}}|=\frac{66}{5}$．

點評 本題考查圓的直角坐標方程、直線的參數方程的求法，考查兩線段和的求法，考查極坐標方程、參數方程、直角坐標方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想，是中檔題．