Question

17．如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2，AD=BG=1．
（Ⅰ）求證：DE⊥BC．
（Ⅱ）求證：AG∥平面BDE；
（Ⅲ）求幾何體EGABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出CD⊥BC，CE⊥BC，從而B(niǎo)C⊥平面DCE，由此能證明DE⊥BC．
（Ⅱ）過(guò)G作GN∥BC，交BE于M，交CE于N，連結(jié)DM，則BGNC是平行四邊形，推導(dǎo)出四邊形ADMG是平行四邊形，從而AG∥DM，由此能證明AG∥平面BDE．
（Ⅲ）幾何體EGABCD的體積V_EGABCD=V_A-BCEG+V_E-ACD，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）∵∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，
∴CD⊥BC，CE⊥BC，
又CD∩CE=C，
∴BC⊥平面DCE，
∵DE?平面DCE，∴DE⊥BC．
（Ⅱ）如圖，在平面BCEG中，過(guò)G作GN∥BC，
交BE于M，交CE于N，連結(jié)DM，
則BGNC是平行四邊形，
∴CN=BG=$\frac{1}{2}$CE，即N是CE中點(diǎn)，∴MN=$\frac{BC}{2}$，
∴MG∥AD，MG=NG=BC-$\frac{BC}{2}$=$\frac{BC}{2}=AD$，
∴四邊形ADMG是平行四邊形，
∴AG∥DM，
∵DM?平面BDE，AG?平面BDE，
∴AG∥平面BDE．
解：（Ⅲ）幾何體EGABCD的體積：
V_EGABCD=V_A-BCEG+V_E-ACD
=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCEG}×DC+\frac{1}{3}{S}_{△ACD}×CE$
=$\frac{1}{3}×\frac{2+1}{2}×2×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．