Question

2．從某種設(shè)備中隨機(jī)抽取5個(gè)，獲得使用年限 x_i（年）與所支出的修理費(fèi)用 y_i（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)資料，算得
$\sum_{i=1}^{5}$x_i=20，$\sum_{i=1}^{5}$y_i=25，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=112.3，$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=90
（1）求回歸方程$\widehat{y}$=bx+a；
（2）判斷變量 x與 y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)維修費(fèi)用是多少．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-bx
其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程；
（2）根據(jù)回歸系數(shù)b的符號(hào)判斷；
（3）把x=10代入回歸方程計(jì)算y．

解答 解：（1）∵$\sum_{i=1}^{5}$x_i=20，$\sum_{i=1}^{5}$y_i=25，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=112.3，$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=90，
∴$\overline{x}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}}{5}$=$\frac{20}{5}=4$，
$\overline{y}=\frac{\sum_{i=1}^{5}{y}_{i}}{5}=\frac{25}{5}=5$，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，
$\stackrel{∧}{a}$=5-1.23×4=0.08．
∴回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08．
（2）∵$\stackrel{∧}$=1.23＞0，
∴變量 x與 y之間是正相關(guān)．
（3）當(dāng)x=10時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=1.23×10+0.08=12.38．
∴使用年限為10年時(shí)維修費(fèi)用約為12.38萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解及數(shù)值估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題．