Question

已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn),求最小值；

(Ⅲ)若對(duì)任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的),使成立,求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】

試題分析：(Ⅰ)將代入，對(duì)求導(dǎo)，令和分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；(Ⅱ)通過(guò)分析已知先得到“對(duì)，恒成立”，下面求在上的最大值，所以，解出的最小值；(Ⅲ)先對(duì)求導(dǎo)，判斷出上的單調(diào)性，并求出的值域，再對(duì)求導(dǎo)，確定單調(diào)性，畫出簡(jiǎn)圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700433083696934/SYS201309170044436077120388_DA.files/image018.png">，得到，通過(guò)驗(yàn)證（2）是恒成立的，所以只需滿足（3）即可，所以解出的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ()，則.    1分

由得；由得.                3分

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.        4分

(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700433083696934/SYS201309170044436077120388_DA.files/image025.png">在區(qū)間上恒成立是不可能的,       5分

故要使函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn),只要對(duì)任意,恒成立.

即對(duì)，恒成立.       6分

令，，則，

再令，，則.

故在為減函數(shù)，于是，

從而，于是在上為增函數(shù)，

所以，            8分

故要使恒成立，只要.

綜上可知，若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，則的最小值為.   9分

(Ⅲ)，所以在上遞增，在上遞減.

又，，

所以函數(shù)在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700433083696934/SYS201309170044436077120388_DA.files/image043.png">.            10分

當(dāng)時(shí)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，， .

當(dāng)時(shí)，，由題意知，在上不單調(diào)，

故，即            11分

此時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：

	—	0	+
	↘	最小值	↗

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

，，

所以，對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，

使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件：

，       12分

令，，則，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，對(duì)任意的，有，

即(2)對(duì)任意恒成立，則(3)式解得 (4) .     13分

綜合(1)與(4)可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的，

在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立.      14分

考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)；3.恒成立問(wèn)題.