Question

【題目】已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）= ．
（1）當n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設an=nf（n），n∈N* ， 求證a1+a2+a3+…+an＜2；
（3）設bn=（9﹣n） ，n∈N* ， Sn為bn的前n項和，當Sn最大時，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）f（1）= f（n），

所以{f（n）}是首項為 、公比為 的等比數列，即f（n）=

（2）解：∵ ， ，

，

兩式相減得： ，

整理得

（3）解：∵f（n）= ，而bn=（9﹣n） ，n∈N*，則bn= ，

當n≤8時，bn＞0；當n=9時，bn=0；當n＞9時，bn＜0；

∴n=8或9時，Sn取到最大值

【解析】（1）由于函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y）對任意的實數x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）= 得到f（n）的表達式；（2）由（1）知，an=nf（n）= ，故可用錯位相減法求出a1+a2+a3+…+an的表達式，即可得證；（3）由（1）和bn=（9﹣n） ，n∈N*可求bn的表達式，進而求出Sn ， 由于數列為一種特殊函數，故可利用函數單調性得到Sn最大時的n值．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．