Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=8lnx+15x-x²，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N₊，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n最大時(shí)，n=（　�。�

• A． 15
• B． 16
• C． 17
• D． 18

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，再計(jì)算f（1），f（8），f（16），f（17）的符號(hào)，即可得到所求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n最大時(shí)，n的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=8lnx+15x-x²，x＞0
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{8}{x}$+15-2x=$\frac{8+15x-2{x}^{2}}{x}$
=$\frac{-（x-8）（2x+1）}{x}$，
當(dāng)x＞8時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)0＜x＜8時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
可得x=8處f（x）取得極大值，且為最大值，f（8）=8ln8+120-64＞0，
由a_n=f（n），n∈N₊，可得f（1）=15-1=14＞0，
f（16）=8ln16+15×16-16²=8ln16-16＞0，
f（17）=8ln17+15×17-17²=8ln17-34＜0，
由單調(diào)性可得a₁，a₂，…，a₁₆都大于0，a₁₇＜0，
則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n最大時(shí)，n=16．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．