Question

10．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₃=5，a₅=9，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{2}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n|b_n|，求數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求出通項公式，再根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出{b_n}的通項公式，
（Ⅱ）由錯位相減求和法求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，∴d=$\frac{1}{2}$（a₅-a₃）=2，
又∵a₃=5，
∴a₁=1，
∴a_n=2n-1，
當(dāng)n=1時，S₁=$\frac{2}{3}$b₁+$\frac{1}{3}$，
∴b₁=1，
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$b_n-$\frac{2}{3}$b_n-1，
∴b_n=-2b_n-1，
即數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，
∴b_n=（-2）^n-1，
（Ⅱ）c_n=a_n•|b_n|=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1×1+3×2¹+5×2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）2^n-1，
則2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）2ⁿ，
相減，-T_n=1+2（2²+2³+…+•2^n-1）-（2n-1）2ⁿ=1+2×$\frac{2-{2}^{n}}{1-2}$-（2n-1）2ⁿ=1+2^n-1-4-（2n-1）2ⁿ=-3+（3-2n）2ⁿ，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列求和，解題時要注意公式的靈活運用，特別是錯位相減求和法的合理運用．