Question

13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設直線y=kx+b與拋物線C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=2，過弦AB中點M作平行于x軸的直線交拋物線于點D，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5，可得p，即可求拋物線C的方程；
（2）把直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用三角形的面積公式即可得出．

解答 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標為4的點
到焦點的距離為5，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）聯(lián)立直線y=kx+b與拋物線C得：k²x²+2（kb-2）x+b²=0（k≠0），
x₁+x₂=$\frac{2（2-kb）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$．
|y₁-y₂|=k|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{4（4-4kb）}{{k}^{2}}}$=2，
∴4-4kb=k²，
∵M（$\frac{2-kb}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），D（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∴△ABD的面積S=$\frac{1}{2}$|MD||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×|\frac{1-kb}{{k}^{2}}|×2$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題綜合考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、弦長公式、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．