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【題目】已知橢圓的離心率為，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據橢圓的離心率為，得到，根據直線與圓的位置關系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到，從而求得，進而求得橢圓的方程；

（2）分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論，寫出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理，向量的數量積，結合已知條件求得結果.

（1）由離心率為，可得，

，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為，

因與直線相切，則有，即，，，

故而橢圓方程為．

（2）①當直線l的斜率不存在時，，，

由于；

②當直線l的斜率為0時，，，

則；

③當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為，，，

由及，

得，有，∴，，

，，

∴，

綜上所述：．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán)．據此，某網站退出了關于生態(tài)文明建設進展情況的調查，調查數據表明，環(huán)境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約占．現從參與關注生態(tài)文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（I）求出的值；

（II）求出這200人年齡的樣本平均數（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數（精確到小數點后一位）；

（III）現在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求第2組恰好抽到2人的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，面，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若為中點，求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若對任意，均有恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】將所有平面向量組成的集合記作，是從到的對應關系，記作或，其中、、、都是實數，定義對應關系的模為：在的條件下的最大值記作，若存在非零向量，及實數使得，則稱為的一個特殊值；

（1）若，求；

（2）如果，計算的特征值，并求相應的；

（3）若，要使有唯一的特征值，實數、、、應滿足什么條件？試找出一個對應關系，同時滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值，②，并驗證滿足這兩個條件.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求的取值范圍，并證明.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300名學生每周平均體育運動時間的樣本數據（單位：小時）.

（1）應收集多少位女生的樣本數據？

（2）根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據的分組區(qū)間為：，，，，，，估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率；

（3）在樣本數據中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯表，并判斷是否有的把握認為“該校學生的毎周平均體育運動時間與性別有關”.

男生

女生

總計

每周平均體育運動時間不超過4小時

每周平均體育運動時間超過4小時

總計

附：，其中.

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年雙十一落下帷幕，天貓交易額定格在268（單位：十億元）人民幣（下同），再創(chuàng)新高，比去年218（十億元）多了50（十億元）．這些數字的背后，除了是消費者買買買的表現，更是購物車里中國新消費的奇跡，為了研究歷年銷售額的變化趨勢，一機構統(tǒng)計了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數據y（單位：十億元），繪制如表：

年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

編號x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

銷售額y

0.9

8.7

22.4

41

65

94

132.5

172.5

218

268

根據以上數據繪制散點圖，如圖所示

（1）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為銷售額關于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及如表中的數據，建立關于的回歸方程，并預測2020年天貓雙十一銷售額；（注：數據保留小數點后一位）

（3）把銷售超過100（十億元）的年份叫“暢銷年”，把銷售額超過200（十億元）的年份叫“狂歡年”，從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取2個，求至少取到一個“狂歡年”的概率．

參考數據：

參考公式：

對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知某地區(qū)某種昆蟲產卵數和溫度有關.現收集了一只該品種昆蟲的產卵數（個）和溫度（）的7組觀測數據，其散點圖如所示：

根據散點圖，結合函數知識，可以發(fā)現產卵數和溫度可用方程來擬合，令，結合樣本數據可知與溫度可用線性回歸方程來擬合．根據收集到的數據，計算得到如下值：

27

74

182

表中，．

（1）求和溫度的回歸方程（回歸系數結果精確到）；

（2）求產卵數關于溫度的回歸方程；若該地區(qū)一段時間內的氣溫在之間（包括與），估計該品種一只昆蟲的產卵數的范圍.（參考數據：，，，，．）

附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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