Question

12．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是AB₁、BC₁的中點．
（Ⅰ）求證：直線MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）求B₁到平面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結B₁C、AC，則N也是B₁C的中點，證明MN∥AC，利用線面平行的判定定理證明MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）由${v_{{B_1}-{A_1}B{C_1}}}={v_{{A_1}-{B_1}BC}}_1$，求出B₁到平面A₁BC₁的距離．

解答 （Ⅰ）證明：連結B₁C、AC，則N也是B₁C的中點
∴MN是△B₁AC的中位線，即有MN∥AC…3
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD
∴MN∥平面ABCD…（5分）
（Ⅱ）解：△A₁BC₁是邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形，∴${S_{△{A_1}BC{\;}_1}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（7分）
設B₁到平面A₁BC₁的距離為h，由${v_{{B_1}-{A_1}B{C_1}}}={v_{{A_1}-{B_1}BC}}_1$
得$\frac{1}{3}×\frac{{4\sqrt{3}h}}{4}=\frac{1}{3}×（1×1×\frac{1}{2}）×1$，∴$h=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（10分）

點評 本題考查線面平行的判定定理，考查B₁到平面A₁BC₁的距離，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行的判定定理是關鍵．