Question

16．已知平面向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow b}$|=1，|${\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$|=2$\sqrt{3}$，則|$\overrightarrow a}$|=2．

Answer 1

分析 根據(jù)向量模長的關(guān)系，利用平方法轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積公式，解一元二次方程即可．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow b}$|=1，|${\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$|=2$\sqrt{3}$，
∴平方得|${\overrightarrow a$|²+4|$\overrightarrow b}$|²+4${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$=12，
即|${\overrightarrow a$|²+4+4|${\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b}$|cos$\frac{π}{3}$=12，
即|${\overrightarrow a$|²+2|${\overrightarrow a$|-8=0，
則（|${\overrightarrow a$|-2）（|${\overrightarrow a$|+4）=0，
則|${\overrightarrow a$|=2，或|${\overrightarrow a$|=-4，（舍）
故答案為：2．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量模長的關(guān)系利用平方法轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．