Question

7．若函數g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2alnx在[1，2]上是減函數，則a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，-$\frac{7}{2}$]
• D． （-∞，-$\frac{7}{2}$）

Answer 1

分析 可求導數得到$g′（x）=-\frac{2}{{x}^{2}}+2x+\frac{2a}{x}$，根據條件即可得出$a＜-{x}^{2}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立，而可設$f（x）=-{x}^{2}+\frac{1}{x}$，通過求導數，根據導數符號即可判斷f（x）在[1，2]上的單調性，根據單調性即可求出f（x）在[1，2]上的最小值，從而求出a的取值范圍．

解答 解：$g′（x）=-\frac{2}{{x}^{2}}+2x+\frac{2a}{x}$；
∵g（x）在[1，2]上是減函數；
∴$-\frac{2}{{x}^{2}}+2x+\frac{2a}{x}＜0$；
∴$a＜-{x}^{2}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立；
設$f（x）=-{x}^{2}+\frac{1}{x}$，則$f′（x）=-2x-\frac{1}{{x}^{2}}＜0$；
∴f（x）在[1，2]上單調遞減；
∴f（x）在[1，2]上的最小值為f（2）=$-\frac{7}{2}$；
∴$a＜-\frac{7}{2}$；
即a的取值范圍為$（-∞，-\frac{7}{2}）$．
故選：D．

點評 考查函數單調性和函數導數符號的關系，以及基本初等函數導數的求法，不等式的性質，根據函數單調性求函數在閉區(qū)間上的最值的方法．