Question

3．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，過F作雙曲線C漸近線的垂線，垂足為A，且交y軸于B，若$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得右焦點(diǎn)F，漸近線方程，利用$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，求出A的坐標(biāo)，代入漸近線y=$\frac{a}$x上，化簡整理，由離心率公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：取右焦點(diǎn)F（c，0），漸近線y=$\frac{a}$x．
∵FA⊥OA，
∴可得直線FA的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
令x=0，解得y=$\frac{ac}$，∴B（0，$\frac{ac}$）．
∵$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，
∴A（$\frac{0+2c}{3}$，$\frac{\frac{ac}+2×0}{3}$），即A（$\frac{2c}{3}$，$\frac{ac}{3b}$），
又A在漸近線y=$\frac{a}$x上，
∴$\frac{ac}{3b}$=$\frac{a}$•$\frac{2c}{3}$，
解得$\sqrt{2}$b=a．
∴該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、確定A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．