Question

8．已知a，b，c＞0，則$\frac{a}{b+c}$+$\frac{4b}{c+a}$+$\frac{5c}{a+b}$的最小值為（　�。�

• A． 3$\sqrt{5}$-1
• B． 3$\sqrt{5}$-2
• C． 3（$\sqrt{5}$-1）
• D． 5

Answer 1

分析 變形$\frac{a}{b+c}$+$\frac{4b}{c+a}$+$\frac{5c}{a+b}$=$\frac{a}{b+c}$+1+$\frac{4b}{c+a}$+4+$\frac{5c}{a+b}$+5-10=（a+b+c）$（\frac{1}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b}）$-10，利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a，b，c＞0，
∴$\frac{a}{b+c}$+$\frac{4b}{c+a}$+$\frac{5c}{a+b}$=$\frac{a}{b+c}$+1+$\frac{4b}{c+a}$+4+$\frac{5c}{a+b}$+5-10=$\frac{a+b+c}{b+c}$+$\frac{4（a+b+c）}{c+a}$+$\frac{5（a+b+c）}{a+b}$-10=（a+b+c）$（\frac{1}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b}）$-10
=$\frac{1}{2}$[（b+c）+（c+a）+（a+b）]$（\frac{1}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b}）$-10≥$\frac{1}{2}$$（1+2+\sqrt{5}）^{2}$-10=3$\sqrt{5}$-3，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{b+c}{1}=\frac{c+a}{2}$=$\frac{a+b}{\sqrt{5}}$，
即a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，c=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$時，取等號．
故選：C．

點評 本題考查了柯西不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．