Question

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°，BD，AC相交于點(diǎn)O，M為BO中點(diǎn)．設(shè)向量$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow b$．
（1）試用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{BD}$和$\overrightarrow{AM}$；
（2）證明：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BD}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的加減的幾何意義求出，
（2）根據(jù)向量的垂直和向量的數(shù)量積的關(guān)系即可證明．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a$．    
又∵M(jìn)為BO中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}（\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow a+\frac{1}{4}（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=\frac{3}{4}\overrightarrow a+\frac{1}{4}\overrightarrow b$．             
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow a^2}$
又∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1×2×cos60°=1$，${\overrightarrow a^2}=|\overrightarrow a{|^2}=1$．                  
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow a^2}=1-1=0$．                                     
即$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BD}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．