Question

設P，Q為△ABC內的兩點，且

AP =m AB +n AC    (m，n＞0) AQ =p AB +q AC    (p，q＞0)

，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為

 

．

Answer 1

分析：設P到邊AB的距離為h₁，Q到邊AB的距離為h₂，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為

h1

h2

，h₁是向量AP與AB邊上的單位法向量

e

的乘積的絕對值，h₂是向量AQ與AB邊上的單位法向量

e

的乘積的絕對值．

解答：解：設P到邊AB的距離為h₁，Q到邊AB的距離為h₂，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為

h1

h2

，
設AB邊上的單位法向量為

e

，

AB

•

e

=0，
則h₁=|

AP

•

e

|=|（m

AB

+n

AC

）•

e

|=|m•

AB

•

e

+n

AC

•

e

|=|n

AC

•

e

|，
同理可得h₂=|q

AC

•

e

|，
∴

h1

h2

=|

n

q

|=

n

q

，
故答案為 n：q．

點評：本題考查向量共線定理、向量數(shù)量積的意義，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．