Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過點$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，左右焦點分別為F₁、F₂，圓x²+y²=2與直線x+y+b=0相交所得弦長為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設Q是橢圓C上不在x軸上的一個動點，Q為坐標原點，過點F₂作OQ的平行線交橢圓C于M、N兩個不同的點，求$\frac{|MN|}{|OQ|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：圓心到直線x+y+b=0的距離為1，再由橢圓C經(jīng)過點$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），OQ的方程為x=my，則MN的方程為x=my+1．由$\left\{\begin{array}{l}x=my\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得$|OQ|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_0}|$=$\frac{{\sqrt{6}\sqrt{1+{m^2}}}}{{\sqrt{2{m^2}+3}}}$，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此能求出$\frac{|MN|}{|OQ|}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：圓心到直線x+y+b=0的距離為1，
即$\frac{{\sqrt{2}}}=1$，所以$b=\sqrt{2}$，
又橢圓C經(jīng)過點$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
所以$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{{3{b^2}}}=1$，得到$a=\sqrt{3}$，
所以橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）設Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
OQ的方程為x=my，
則MN的方程為x=my+1．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=\frac{{6{m^2}}}{{2{m^2}+3}}\\{y^2}=\frac{6}{{2{m^2}+3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}^2=\frac{{6{m^2}}}{{2{m^2}+3}}\\{y_0}^2=\frac{6}{{2{m^2}+3}}.\end{array}\right.$，
所以$|OQ|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_0}|$=$\frac{{\sqrt{6}\sqrt{1+{m^2}}}}{{\sqrt{2{m^2}+3}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
所以${y_1}+{y_2}=-\frac{4m}{{2{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{4}{{2{m^2}+3}}$，
$|MN|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_1}-{y_2}|$=$\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{\frac{{16{m^2}}}{{{{（2{m^2}+3）}^2}}}+\frac{16}{{2{m^2}+3}}}$
=$\sqrt{1+{m^2}}•\frac{{4\sqrt{3}\sqrt{1+{m^2}}}}{{2{m^2}+3}}=\frac{{4\sqrt{3}（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}$，
所以$\frac{|MN|}{|OQ|}=\frac{{\frac{{4\sqrt{3}（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}}}{{\sqrt{\frac{{6（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}}}}=2\sqrt{2}•\frac{{\sqrt{1+{m^2}}}}{{\sqrt{2{m^2}+3}}}=2\sqrt{2}•\sqrt{\frac{{1+{m^2}}}{{2{m^2}+3}}}=2\sqrt{2}•\sqrt{\frac{1}{{2+\frac{1}{{1+{m^2}}}}}}$，
因為1+m²≥1，所以$0＜\frac{1}{{1+{m^2}}}≤1$，即$2＜2+\frac{1}{{1+{m^2}}}≤3$，即$\frac{1}{3}≤\frac{1}{{2+\frac{1}{{1+{m^2}}}}}＜\frac{1}{2}$，
所以$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}≤\frac{|MN|}{|OQ|}＜2$，
即$\frac{|MN|}{|OQ|}$的取值范圍為$[\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，2）$．

點評 本題考查橢圓方程、直線方程、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．