Question

【題目】已知，是橢圓的左右焦點，且橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點，當直線過時周長為8.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若，是否存在定圓，使得動直線與之相切，若存在寫出圓的方程，并求出的面積的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，從而求出答案；

（Ⅱ）法1：設，，∵，∴，設點，點，代入橢圓方程相加得，從而可求出，可得，由此可求出答案；

法2：聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理的結(jié)論，代入到可得，從而，根據(jù)弦長公式，求出面積的范圍．

解：（Ⅰ）由題意可得，，

故，又有，∴，

橢圓的標準方程為；

（Ⅱ）法1：設，，∵，∴，

設點，點，

，兩式相加得，

，

，∴，

，，

∴，．

法2：，

，

，

∴，

∴，

，

當時，，

當時，，當且僅當時取到等號，此時符合

∴．