Question

先將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)都向右平移

π

12

個(gè)單位，再把所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若A為銳角三角形的內(nèi)角，且g（A）=

1

3

，求f（

A

2

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的減區(qū)間求得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由條件可得sin（A-

π

6

）和cos（A-

π

6

）的值，再根據(jù)f（

A

2

）=sinA=sin[（A-

π

6

）+

π

6

]，利用兩角和的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)都向右平移

π

12

個(gè)單位，可得函數(shù)y=sin2（x-

π

12

）=sin（2x-

π

6

）的圖象，
再把所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=sin（x-

π

6

）的圖象．
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得2kπ+

2π

3

≤x-

π

6

≤2kπ+

5π

3

，k∈z，
可得g（x）的減區(qū)間為[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈z．
（2）由A為銳角三角形的內(nèi)角，g（A）=sin（A-

π

6

）=

1

3

，可得cos（A-

π

6

）=

2 2

3

，
f（

A

2

）=sinA=sin[（A-

π

6

）+

π

6

]=sin（A-

π

6

） cos

π

6

+cos（A-

π

6

）sin

π

6

=

1

3

×

3

2

+

2 2

3

×

1

2

=

3 +2 2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的減區(qū)間，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．