Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=2，S₉=45．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=l，$\frac{{{3^{{b_{n+1}}}}}}{{{3^{b_n}}}}$=${3^{a_n}}$（n∈N⁺），求數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}+n-1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列前n項和公式、通項公式列出方程組，求出首項與公差，由此能求出a_n．
（2）推導(dǎo)出b_n+1-b_n=n，利用累加法求出b_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1，從而$\frac{1}{_{n}+n-1}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此能求出數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}+n-1}}$}的前n項和T_n．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=2，S₉=45，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{9{a}_{1}+\frac{9×8}{2}d=45}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=1，
a_n=1+（n-1）×1=n．…（4分）
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=l，$\frac{{{3^{{b_{n+1}}}}}}{{{3^{b_n}}}}$=${3^{a_n}}$（n∈N⁺），
∴b_n+1-b_n=n，
∴b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+…+b_n-b_n-1
=1+1+2+3+…+（n-1）
=1+$\frac{n-1}{2}$（1+n-1）
=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1，
∴$\frac{1}{_{n}+n-1}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．