Question

6．已知f（x）=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x+2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]時(shí)，求f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）已知銳角三角形ABC滿足f（A）=$\sqrt{3}$，且sinB=$\frac{3}{5}$，b=2，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩角和的正弦公式、二倍角余弦公式變形化簡(jiǎn)解析式，由x的范圍求出“$2x+\frac{π}{3}$”的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）由（I）和條件化簡(jiǎn)f（A），由銳角三角形的條件和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由條件和正弦定理求出a，由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求出sinC，代入三角形的面積公式求出三角形ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x+2$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$（1-cos2x）+2$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，
由$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}]$得，$2x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
則$sin（2x+\frac{π}{3}）∈[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
所以$2sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}∈[0，2+\sqrt{3}]$，
即f（x）的取值范圍是$[0，2+\sqrt{3}]$；
（Ⅱ）由（I）得，f（A）=$2sin（2A+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
則$sin（2A+\frac{π}{3}）=0$，
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以A=$\frac{π}{12}$，
因?yàn)閟inB=$\frac{3}{5}$，b=2，所以由正弦定理得，
$a=\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{5（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{6}$，
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，sinB=$\frac{3}{5}$，
所以cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
所以sinC=sin（A+B）=sin$\frac{π}{12}$cosB+cos$\frac{π}{12}$sinB
=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}×\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{7\sqrt{6}-\sqrt{2}}{20}$，
所以三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$
=$\frac{1}{2}×\frac{5（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{6}×2×\frac{7\sqrt{6}-\sqrt{2}}{20}$=$\frac{11-4\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，正弦函數(shù)的性質(zhì)，兩角和的正弦公式、二倍角余弦公式變形等，及三角形面積公式的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．