Question

11．已知拋物線C₁：y²=8x的焦點F到雙曲線C₂：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1，（{a＞0，b＞0}）$的漸近線的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，P是拋物線C₁的一動點，P到雙曲線C₂的上焦點F₁（0，c）的距離與到直線x+2=0的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3}=1$
• B． ${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$
• D． $\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{2}=1$

Answer 1

分析 由拋物線的焦點F（2，0）到雙曲線漸近線ax-by=0的距離$\frac{丨2a丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，2b=a，由丨FF₁丨=3，c²+4=9，c²=a²+b²，a=2b，即可求得a和b，求得雙曲線的方程．

解答 解：拋物線C₁：y²=8x的焦點F（2，0），雙曲線C₂：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1，（{a＞0，b＞0}）$一條漸近線的方程為ax-by=0，
∵拋物線y²=8x的焦點F到雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1，（{a＞0，b＞0}）$漸近線的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
$\frac{丨2a丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴2b=a，
∵P到雙曲線C的上焦點F₁（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，
∴丨FF₁丨=3，
∴c²+4=9，
∴c=$\sqrt{5}$，
∵c²=a²+b²，a=2b，
∴a=2，b=1，
∴雙曲線的方程$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$；
故選C．

點評 本題考查拋物線及雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．