Question

【題目】在直角坐標(biāo)平面中，已知點，，，…，，其中是正整數(shù)，對平面上任一點，記為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點，…，為關(guān)于點的對稱點.

（1）求向量的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點在曲線上移動時，點的軌跡是函數(shù)的圖像，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時，.求以曲線為圖像的函數(shù)在上的解析式；

（3）對任意偶數(shù)，用表示向量的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先設(shè)點，由題意求出，進(jìn)而得到，從而可求出向量；

（2）先由題意，得到是由曲線按向量平移得到的；根據(jù)圖像變換，以及函數(shù)周期，即可得出結(jié)果；

（3）先由為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點，得到，再由向量的運算法則，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，以及等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.

（1）設(shè)點，因為為關(guān)于點的對稱點，所以，

又為關(guān)于點的對稱點，

所以，即，

因此；

（2）由（1），

因為點在曲線上移動時，點的軌跡是函數(shù)的圖像，

所以的圖像由曲線向右平移個單位，再向上平移個單位得到，

因此，設(shè)曲線是函數(shù)的圖像，因為是以3為周期的周期函數(shù)，

所以也是以為周期的周期函數(shù)，

當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，；

于是，當(dāng)時，；

（3）由題意，為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點.

所以在中，為的中點，為的中點，

所以，

因此，

.